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高三数学全称量词与存在量词6

高三数学全称量词与存在量词6

分类:高三数学教案   更新:2013/1/25   来源:网友提供

高三数学全称量词与存在量词6

,有P(x)成立;其否定命题┓P为:x∈M,使P(x)不成立。存在性命题P:xM,使P(x)成立;其否定命题┓P为:xM,有P(x)不成立。用符号语言表示:P:M,p(x)否定为ɨ
,有P(x)成立;其否定命题┓P为:x∈M,使P(x)不成立。存在性命题P:xM,使P(x)成立;其否定命题┓P为: xM,有P(x)不成立。
用符号语言表示:
P:M, p(x)否定为 P: M,  P(x)
P:M, p(x)否定为 P: M,  P(x)
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词,存在性的量词改成全称性的量词,并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则:否定全称得存在,否定存在得全称,否定肯定得否定,否定否定得肯定.
2.关键量词的否定
词语 是 一定是 都是 大于 小于 且
词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或
词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立 
词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立 
五、巩固运用
例1  写出下列全称命题的否定:
(1)p:所有人都晨练;
(2)p:xR,x2+x+1>0;
(3)p:平行四边形的对边相等;
(4)p:$ x∈R,x2-x+1=0;
分析:(1) P:有的人不晨练;(2)$ x∈R,x2+x+1≤0;(3)存在平行四边形,它的的对边不相等;(4)xR,x2-x+1≠0;
例2 写出下列命题的否定。
(1) 所有自然数的平方是正数。
(2) 任何实数x都是方程5x-12=0的根。
(3) 对任意实数x,存在实数y,使x+y>0.
(4) 有些质数是奇数。
解:(1)的否定:有些自然数的平方不是正数。
(2)的否定:存在实数x不是方程5x-12=0的根。
(3)的否定:存在实数x,对所有实数y,有x+y≤0。
(4)的否定:所有的质数都不是奇数。
解题中会遇到省略了“所有,任何,任意”等量词的简化形式,如“若x>3,则x2>9”。在求解中极易误当为简单命题处理;这种情形下时应先将命题写成完整形式,再依据法则来写出其否定形式。
例3 写出下列命题的否定。
(1) 若x2>4 则x>2.。
(2) 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
(3) 可以被5整除的整数,末位是0。
(4) 被8整除的数能被4整除。
(5) 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等。
解(1)否定:存在实数 ,虽然满足 >4,但 ≤2。或者说:存在小于或等于2的数 ,满足 >4。(完整表达为对任意的实数x, 若x2>4 则x>2)
(2)否定:虽然实数m≥0,但存在一个 ,使 +  -m=0无实数根。(原意表达:对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。)
(3)否定:存在一个可以被5整除的整数,其末位不是0。
(4)否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
(5)否定:存在一个四边形,虽然它是正方形,但四条边中至少有两条不相等。(原意表达为无论哪个四边形,若它是正方形,则它的四条边中任何两条都相等。)
例4 写出下列命题的非命题与否命题,并判断其真假性。 
(1)p:若x>y,则5x>5y;
(2)p:若x2+x﹤2,则x2-x﹤2;
(3)p:正方形的四条边相等;
(4)p:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0有非空实解集,则a2-4b≥0。
解:(1) P:若 x>y,则5x≤5y; 假命题
      否命题:若x≤y,则5x≤5y;真命题
(2) P:若x2+x﹤2,则x2-x≥2;真命题
      否命题:若x2+x≥2,则x2-x≥2);假命题。
  (3) P:存在一个四边形,尽管它是正方形,然而四条边中至少有两条边不相等;假命题。  
否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等。假命题。
(4) P:存在两个实数a,b,虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集,但使a2-4b﹤0。假命题。
   否命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0没有非空实解集,则a2-4b﹤0。真命题。
评注:命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由:
1.任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题;而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2.命题的否定(非)是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命题与原命题可能是同真同假,也可能是一真一假。
3. 原命题“若P则q” 的形式,它的非命题“若p,则q”;而它的否命题为 “若┓p,则┓q”,既否定条件又否定结论。
六、回顾反思
在教学中,务必理清各类型命题形式结构、性质关系,才能真正准确地完整地表达出命题的否定,才能避犯逻辑性错误,才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上,达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
七、课后练习
1.命题p:存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根,则“非p”形式的命题是(      )
A.存在实数m,使得方程x2+mx+1=0无实根;
B.不存在实数m,使得方程x2+mx+1=0有实根;
C.对任意的实数m,使得方程x2+mx+1=0有实根;
D.至多有一个实数m,使得方程x2+mx+1=0有实根;
2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数,整数是有理数,则整数是分数”结论显然是错误的,是因为(    )
A.大前提错误    B.小前提错误      C.推理形式错误   D.非以上错误 
3.命题“xR,x2-x+3>0”的否定是                     
4.“末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是                                     
否命题是                                       
5.写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p:m∈R,方程x2+x-m=0必有实根;
(2)q:R,使得x2+x+1≤0;
6.写出下列命题的“非P”命题,并判断其真假:
(1)若m>1,则方程x2-2x+m=0有实数根.
(2)平方和为0的两个实数都为0.
(3)若 是锐角三角形, 则 的任何一个内角是锐角.
(4)若abc=0,则a,b,c中至少有一为0.
(5)若(x-1)(x-2)=0 ,则x≠1,x≠2.
八、参考答案:
1. B
2.C
3. xR,x2-x+3≤0
4.否定形式:末位数是0或5的整数,不能被5整除
   否命题:末位数不是0且不是5的整数,不能被5整除
5.(1)p:m∈R,方程x2+x-m=0无实根;真命题。
(2)q:R,使得x2+x+1>0;真命题。
6. ⑴  若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根,(真);
⑵平方和为0的两个实数不都为0(假);
⑶若 是锐角三角形, 则 的任何一个内角不都是锐角(假);
⑷若abc=0,则a,b,c中没有一个为0(假);
⑸若(x-1)(x-2)=0,则  或 ,(真).

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