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高考数学抛物线1

高考数学抛物线1

分类:高三数学教案   更新:2013/1/25   来源:网友提供

高考数学抛物线1

,,点,以A、B为端点的曲线段C上任一点到的距离与到点N的距离相等。若为锐角三角形,,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程。解:以直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段C是以点N为焦点,以为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为曲线段C的端点。设曲线段C的方程为,其中
, ,点 ,以A、B为端点的曲线段C上任一点到 的距离与到点N的距离相等。若 为锐角三角形, ,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程。
解:以直线 为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段C是以点N为焦点,以 为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为曲线段C的端点。
  设曲线段C的方程为 ,其中 为A、B的横坐标, ,所以 ,由 ,得   (1)
    (2),(1)(2)联立解得 ,代入(1)式,并由
解得 ,因为 为锐角三角形,所以 ,故舍去 ,所以
由点B在曲线段C上,得 ,综上,曲线段C的方程为
[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路,考查了定义法,待定系数法求曲线方程的步骤,综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。
例4. 设抛物线 的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且 ,证明直线AC经过原点O。
证明一:设AB:
    由韦达定理,得
    
    则 ,故直线AC经过原点O。
证明二:见教材P125页。
[思维点拔]本题的“几何味”特别浓,这就为本题注入了活力,在涉及解析思想较多的证法中,关键是得到 这个重要结论,还有些证法充分利用了平面几何知识,这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视,也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目。
例5、(备用)设抛物线 的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心,︱AB︱为半径,在x轴上方画半圆,设抛物线与半圆相交与不同的两点M,N。点P是MN的中点。
(1)求︱AM︱+︱AN︱的值
(2)是否存在实数a,恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列?若存在,求出a,不存在,说明理由。
解:(1)设M,N,P在抛物线准线上的射影分别为M′,N′,P′.
︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=xM+xN+2a      又圆方程
将 代入得
 得︱AM︱+︱AN︱=8
(2)假设存在a
因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱
所以︱AP︱=︱PP′︱  ,P点在抛物线上,这与P点是MN的中点矛盾。故a不存在。
例6、(备用)抛物线 上有两动点A,B及一个定点M,F为焦点,若 成等差数列
(1) 求证线段AB的垂直平分线过定点Q
(2) 若 (O为坐标原点),求抛物线的方程。
(3) 对于(2)中的抛物线,求△AQB面积的最大值。
解:(1)设 ,则 , , ,由题意得 , 的中点坐标可设为 ,其中
 (否则 ),
而  ,故AB的垂直平分线为 ,即 ,可知其过定点
(2)由 ,得 ,联立解得  。
(3)直线AB: ,代入 得 , ,
  
 ,又点 到AB的距离 ,  
令 ,则 ,令 即 ,得 或 或 ,   时 。
[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法,必须熟练掌握,对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。
三、课堂小结:全面精确地掌握抛物线的定义,方程以及它的基本量是把握问题的关键。对圆锥曲线综合问题的处理也需多多的感悟。
四、作业布置:教材P125闯关训练

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