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高考数学三角函数的最值问题10

高考数学三角函数的最值问题10

分类:高三数学教案   更新:2013/1/25   来源:网友提供

高考数学三角函数的最值问题10

课题§4.9三角函数的最值1.基础知识(1)配方法求最值主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性,转化为二次函数在闭区间上的最值问题,如求函数的最值,可转化为求函数上的最值问题。(2)化为一个角的三角函数,再利用有界性求最值:如函数的最大值是()A.B.C.D.应选B(3)数形结合常用到直线斜率的几

 课题  §4.9三角函数的最值
1. 基础知识
(1) 配方法求最值
主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性,转化为二次函数在闭区间上的最值问题,如求函数 的最值,可转化为求函数 上的最值问题。
(2) 化为一个角的三角函数,再利用有界性求最值:
 
  如函数 的最大值是(    )
A.   B.   C.   D.    应选B
(3) 数形结合
常用到直线斜率的几何意义,例如求函数 的最大值和最小值。函数 的几何意义为两点 连线的斜率 ,而Q点的轨迹为单位圆,由图可知
(4) 换元法求最值
①利用换元法将三角函数问题转化为代数函数,此时常用万能公式和判别式求最值。
②利用三角代换将代数问题转化为三角函数,然而利用三角函数的有界性等求最值。
例如:设实数 满足 则 的最大值为______.
解:由 可设
则 ,则其最大值为5。
2. 重点难点:  通过三角变换结合代数变换求三角函数的最值。
3. 思维方式
(1) 认真观察函数式,分析其结构特征,确定类型。
(2) 根据类型,适当地进行三角恒等变形或转化,这是关键的步骤。
(3) 在有关几何图形的最值中,应侧重于将其化为三角函数问题来解决。
4. 特别说明
注意变换前后函数的等价性,正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响,含参数函数的最值,解题要注意参数的作用和影响。
二、题型剖析
1、化为一个角的三角函数,再利用有界性求最值。
例1:P(66)  函数Y=acosx+b (a.b为常数),若 ,求bsinx +acosx 的最大值.
练习: 求函数 的最值,并求取得最值时的 值。
解:
=
∴当 即 时, 取得最大值,
当 即 时, 取得最小值, 。
思维点拨:三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。
2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。
例2  P(66) 
解:
 ,y有最小值 ,无最大值.
练习:是否存在实数a,使得函数 在闭区间 上的最大值是1?若存在,求出对应的a值?若不存在,试说明理由。
解:
当 时, ,令 则 ,
 
 
 
 
综上知,存在 符合题意。
思维点拨:闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。
3、换元法解决 同时出现的题型。
例3:求函数 的最小值。
解:
令 ,则
 ,
所以当 时,
[思维点拨]:遇到 与 相关的问题,常采用换元法,但要注意 的取值范围是 ,以保证函数间的等价转化。
4、图象法,解决形如 型的函数。
例4、P(66)   求函数 的最大值和最小值.。
思维点拨:此题为基本题型解决的方法很多,可用三角函数的有界性或万能公式,判别式法。这里以图象法的主求解。
例5、设 ,若方程 有两解,求 的取值范围。


解:

 

设 ,
要使两函数图象有交点(如图),
则  。
[思维点拨]:在用数形结合法解题时,作图一定要准确。本题若改为方程有一解,则 的范围又该怎样呢?
5、利用不等式单调性求最值。
思维点拨:利用基本不等式求最值时,等号不能取得时,可利用单调性。
三、课堂小结
(1) 求三角函数最值的方法有:①配方法,②化为一个角的三角函数,③数形结合法④换元法,⑤基本不等式法。
(2) 三角函数最值都是在给定区间上取得的,因而要特别注意题设所给出的区间。
(3) 求三角函数的最值时,一般要进行一些三角变换以及代数换元,须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。
(4) 含参数函数的最值,解题要注意参数的作用和影响。
四、作业:

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