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解三角形

解三角形

分类:高三数学教案   更新:2014/2/25   来源:网络

解三角形

(4)已知轮船A和轮船B同时离开C岛,A向北偏东 方向,B向西偏北 方向,若A的航行速度为25 nmi/h,B的速度是A的 ,过三小时后,A、B的距离是 . 解:90.8 nmi
    解三角形
    (一)正弦定理和余弦定理
    掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
    (二) 应用
    能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
    正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力.以化简、求值或判断三角形的形状为主.解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明.
    第1课时    三角形中的有关问题
    变式训练1:(1) 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且 ,则   (     )
    A.                B.            C.              D.
    解:B 提示:利用余弦定理
    (2)在△ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是  (     )
    A.    B.
    C.    D. 
    解:C  提示:在斜三角形中,用正弦定理求角时,若已知小角求大角,则有两解;若已知大角求小角,则只有一解
    (3)在△ABC中,已知 , ,则 的值为(    )
    A             B         C   或       D  
    解:A  提示:在△ABC中,由  知角B为锐角
    (4)若钝角三角形三边长为 、 、 ,则 的取值范围是        .
    解:  提示:由 可得
    (5)在△ABC中, =        .
    解: 提示:由面积公式可求得 ,由余弦定理可求得
    例3. 已知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A、B、C.
    解:由sinA(sinB+cosB)-sinC=0,得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0,
    所以sinB(sinA-cosA)=0
    ∵B∈(0, π), ∴sinB≠0,  ∴cosA=sinA,由A∈(0, π),知A= 从而B+C= ,由sinB+cos2C=0得sinB+cos2( -B)=0
    cos=( -2B)=cos[2π-( +2B)]=cos( +2B)=-sin2B
    得sinB-sin2B=0,亦即sinB-2sinBcosB=0,由此各cosB= ,B= ,C=
    ∴A=   B=   C=
    变式训练3:已知△ABC中,2 (sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,△ABC外接圆半径为 .
    (1)求∠C;
    (2)求△ABC面积的最大值.
    解:(1)由2 (sin2A-sin2C)=(a-b)?sinB得
    2 ( - )=(a-b) .
    又∵R= ,∴a2-c2=ab-b2.∴a2+b2-c2=ab.∴cosC= = .
    又∵0°<C<180°,∴C=60°.
    (2)S= absinC= × ab=2 sinAsinB=2 sinAsin(120°-A)
    =2 sinA(sin120°cosA-cos120°sinA)=3sinAcosA+ sin2A
    = sin2A- cos2A+ = sin(2A-30°)+ .
    ∴当2A=120°,即A=60°时,Smax= .
    第2课时    应用性问题
    1.三角形中的有关公式(正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等);
    2.正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等;
    3.实际问题中有关术语、名称.
    (1)仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角;在水平视线下方的角叫俯角
    (2)方位角:指正北方向顺时针转到目标方向线水平角.
    例1.(1)某人朝正东方走 km后,向左转1500,然后朝新方向走3km,结果它离出发点恰好 km,那么 等于            (      )
    (A)            (B)                (C) 或      (D)3
    解:C 提示:利用余弦定理
    (2)甲、乙两楼相距 ,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 ,则甲、乙两楼的高分别是        (      )
    A               B   
    C        D                  
    解:A
    (3)一只汽球在 的高空飞行,汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为 ,汽球向前飞行了 后,又测得A点处的俯角为 ,则山的高度为(    )
    A     B      C      D  
    解: B
    (4)已知轮船A和轮船B同时离开C岛,A向北偏东 方向,B向西偏北 方向,若A的航行速度为25 nmi/h,B的速度是A的 ,过三小时后,A、B的距离是          .
    解:90.8 nmi
    (5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行,
    航向为方位角 ,A处有灯塔,       
    其方位角 ,在C处观测灯塔A的     
    方位角 ,由B到C需航行半小时, 
    则C到灯塔A的距离是              
    解: km 提示:由题意知  ,利用余弦定理或解直角三角形可得
    变式训练1:如图,当

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