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正弦定理

正弦定理

分类:高三数学教案   更新:2014/2/25   来源:网络

正弦定理

3.在△ABC中,若 ,则△ABC的形状是( ) A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 解. 答案:B
    正弦定理(二)
    知识梳理
    1.在△ABC中,A>B a>b sinA>sinB
    2.在△ABC中,A+B+C= ,    ,
    ,
    3.若 为锐角 ,则 >  A> -B sinA>cosB cosA<sinB
    4. = ah ( h 表示a边上的高)
    5.正弦定理的另一个作用是能够进行边角互化,应用此法可根据条件判断三角形形状或证明三角形中的公式,但要注意三角形和三角函数的有关知识。
    题型一 判断三角形的形状
    【例1】在△ABC中,已知 = = ,试判断△ABC的形状.
    【解】令 =k,由正弦定理,得
    代入已知条件,得 = =   ,即tanA=tanB=tanC.
    又A,B,C∈ (0,π),
    所以A=B=C,从而△ABC为正三角形.
    点评:  判断三角形的形状,必须深入研究边与边的大小关系,角与角的大小关系,是否角相等?有无直角或钝角?一般有两种转化方向,要么转化为边,要么转化为角。通过正弦定理,可以实现边角互化.
    题型二 正弦定理的应用
    例2. 在△ABC中,tanA= ,tanB= ,且最长边的长为l,求:(1)角C,(2)最短边的长
    解:(1)  tan(A+B)= =1, C=
    (2)tanA>tanB,且C为钝角,故b最小,c最大,由tanB= 得sinB=
    由正弦定理得,最短边长b= l
    点评: 利用正弦定理解三角形中,要注意三角形和三角函数的有关知识。
    备选题  正弦定理的综合应用
    例3 已知△ABC的面积为1,tanB= ,tanC=-2,求△ABC的边长以及△ABC外接圆的面积。
    解:  tanB= ,0<B<  sinB= .cosB=
    又 tanC=-2, <C<  sinC= ,cosC=―
    则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= (― )+   =
    ,  a= = b
    则S = absinC=   b   =1
    解得b= ,于是a=
    再由正弦定理得c= =
    外接圆的直径2R= =
    R= ,于是外接圆的面积的面积S= =
    点评 综合应用同角三角函数关系式,正弦定理和三角形的面积公式进行计算。
    点击双基
    1.在△ABC中,角 均为锐角,且 则△ABC的形状是(     )
    A.直角三角形    B.锐角三角形   C.钝角三角形    D.等腰三角形 
    解  都是锐角,则
    答案C
    2.在 中, ,则     (    )
    A.              B.        C.            D.
    解:    A=120 ,B=C=30     
    答案:D
    3.在△ABC中,若 ,则△ABC的形状是(    )
    A.直角三角形  B.等腰或直角三角形   C.不能确定    D.等腰三角形 
    解.   
    答案:B
    4.在△ABC中,若 则 一定大于 ,对吗?填_________(对或错)
    解:  则
    答案   对
    5.在△ABC中,若 _________。
    解:
    答案:
    课后作业
    一、选择题
    1.在△ABC中,若 , ,则△ABC的形状是(     )
    A.直角三角形     B。等腰或直角三角形   C。等腰直角三角形    D。等腰三角形
    解:   a =b +c  A=90  B+C=90 ,cosC=sinB
    又    sinB= , B=45 =C
    答案:C
    2. 在△ABC中,已知b = 6,c = 10,B = 30°,则解此三角形的结果是    (   )      
    A.无解                B.一解           C.两解                D.解的个数不能确定
    解:  = ,  sinC= = , 有两解
    答案:C
    3. 已知△ABC中, , ,三角形面积 ,则角A等于(    )
    A.         B.         C.  或        D.  或
    解:由 可得 ,∴ 或 .
    答案:D
    4.已知△ABC中,a∶b∶c=1∶ ∶2,则A∶B∶C等于(   )
    A.1∶2∶3     B.2∶3∶1   C.1∶3∶2        D.3∶1∶2
    解: a∶b∶c=1∶ ∶2 c =a +b  △ABC是直角三角形且C=90 ,A=30 ,B=60
    答案:A
    5.在△ABC中,若 ,则△ABC的形状是(    )
    A.直角三角形  B.等边三角形  C.不能确定    D.等腰三角形 
    解:  
    ,
    答案:等腰三角形
    6.在△ABC中,∠A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ABC        (   )
    (A) 有 一个解  (B)  有两个解     (C)  无解      (D)不能确定
    解: bsinA=2  &nbs

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