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正、余弦定理的综合应用

正、余弦定理的综合应用

分类:高三数学教案   更新:2014/2/25   来源:网络

正、余弦定理的综合应用

7.在△ABC中,cos = ,则△ABC的形状是( ) A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 解:原式可化为 = , cosA+1= cosA= 由余弦定理,得 , a △ABC为直角三角形 答案:B
    正、余弦定理的综合应用
    知识梳理
    1.正弦定理:  ,其中 为 外接圆的半径。
    利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题.
    (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
    (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角)
    2.余弦定理:
    (1)余弦定理:
    ;  ;  .
    在余弦定理中,令C=90°,这时cosC=0,所以c2=a2+b2.
    (2)余弦定理的推论:
    ;    ;    .
    利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:
    (1)已知三边,求三个角;
    (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
    3.三角形面积公式: = =
    4.三角形的性质:
    ①.A+B+C= ,    ,
    ,
    ②.在 中,  >c ,  <c ; A>B  > ,
    A>B cosA<cosB, a >b  A>B
    ③.若 为锐角 ,则 > ,B+C > ,A+C > ;
    > , > , + >
    5.(1)若给出 那么解的个数为:(A为锐角),几何作图时,存在多种情况.如已知a、b及A,求作三角形时,要分类讨论,确定解的个数.
    已知两边和其中一边的对角解三角形,有如下的情况:
    (1)A为锐角
    一解                        两解                    一解
    若 ,则无解;
    (2)当A≥90
    若a>b,则一解
    若a≤b,则无解
    典例剖析
    题型一 三角形多解情况的判断
    例1.根据下列条件,判断 有没有解?若有解,判断解的个数.
    (1) , , ,求 ;
    (2) , , ,求 ;
    (3) , , ,求 ;
    (4) , , ,求 ;
    (5) , , ,求 .
    解:(1)∵ ,∴ 只能是锐角,因此仅有一解.
    (2)∵ ,∴ 只能是锐角,因此仅有一解.
    (3)由于 为锐角,而 ,即 ,因此仅有一解 .
    (4)由于 为锐角,而 ,即 ,因此有两解,易解得 .
    (5)由于 为锐角,又 ,即 ,
    ∴ 无解.
    评析:对于已知两边和其中一边的对角,解三角形问题,容易出错,一定要注意一解、两解还是无解。这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
    题型二 正、余弦定理在函数中的应用
    例2在△ABC中,AB=5,AC=3,D为BC中点,且AD=4,求BC边长.
    分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设BC为x后,建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角,故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点,所以BD、DC可表示为x2 ,然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.
    解:设BC边为x,则由D为BC中点,可得BD=DC=x2 ,
    在△ADB中,cos ADB=AD2+BD2-AB22AD?BD =42+(x2 )2-522×4×x2 
    在△ADC中,cos ADC=AD2+DC2-AC22AD?DC =42+(x2 )2-322×4×x2 
    又∠ADB+∠ADC=180°
    ∴cos ADB=cos(180°-∠ADC)=-cos ADC.
    ∴42+(x2 )2-522×4×x2  =-42+(x2 )2-322×4×x2 
    解得,x=2
    所以,BC边长为2.
    评述:此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能,体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用,并注意总结这一性质的适用题型.
    备选题  正、余弦定理的综合应用
    例3在△ABC中,已知 ,求△ABC的面积.
    解法1:设AB、BC、CA的长分别为c、a、b,
    .
    故所求面积
    解法3:同解法1可得c=8.    又由余弦定理可得
    故所求面积
    评析:本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
    点击双基
    一. 选择题:
    1. 在 中, ,则A为(    )
    解:
    答案:A
    2. 在 (    )
    解: 由题意及正弦定理可得
    答案:B
    3. 以4、5、6为边长的三角形一定是(    )
    A. 锐角三角形   B. 直角三角形
    C. 钝角三角形   D. 锐角或钝角三角形
    解::长为6的边所对角最大,设它为
    则
    答案A
    4. 在 中,化简 ___________
    解:利用余弦定理,得原式
    答案:a
    5. 在 中, ,则 _______, ________
    解:
    又
    答案:
    课外作业
    一、选择
    1. 在 中, ,则A等于(    )
    解:由余弦定理及已知可得 
    答案:C
    2.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60 ,则此三角形的解的情况是(    )
    A.   有一解   B.  有两解  C.   无解    D.    有解但解的个数不确定
    解: bsinC=20 >c,   无解
    答案:C
    3. 在 中, ,则三角形为(    )
    A. 直角三角形   B. 锐角三角形
    C. 等腰三角形   D. 等边三角形
    解:由余弦定理可将原等式化为
    答案C  
    4. 在 中, ,则 是(    )
    A. 锐角三角形 &nb

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