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高二数学数学归纳法的应用008

高二数学数学归纳法的应用008

分类:高二数学教案   更新:2013/1/21   来源:网友提供

高二数学数学归纳法的应用008

7.5数学归纳法的应用一、教学内容分析1.本小节的重点是用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.教学时应对书写与表达提出严格的要求.尤其是在证明数或式的整除性时,更要注意说理清楚,并以此作为培养学生逻辑推理能力的一个抓手.2.本小节的难点是用数学归纳法证明数或式的整除性.突破难点的关

    7.5数学归纳法的应用
    一、教学内容分析
    1. 本小节的重点是用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.教学时应对书写与表达提出严格的要求.尤其是在证明数或式的整除性时,更要注意说理清楚,并以此作为培养学生逻辑推理能力的一个抓手.
    2. 本小节的难点是用数学归纳法证明数或式的整除性.突破难点的关键是在授课时要重点分析“补项法”的证明思路:通过补项为运用归纳假设创造条件.不要让学生单纯机械地模仿.另外还常用作差方法,通过相减后,证明差能被某数(或某式)整除,再利用归纳假设可得当n=k+1时命题成立.
    二、教学目标设计
    1.会用数学归纳法证明等式;
    2.会用数学归纳法证明数或式的整除;
    3.进一步掌握数学归纳法的证明步骤与数学归纳法的实质.
    三、教学重点及难点:
    用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.
    四、教学流程设计
    五、教学过程设计
    1.复习回顾:
    用数学归纳法证明命题的两个步骤,是缺一不可的.如果只完成步骤(i)而缺少步骤(ii)不能说明命题对从n0开始的一切正整数n都成立.
    如 +1,当n=0、1、2、3、4时都是素数,而n=5时, +1=641×6700417不是素数.
    同样只有步骤(ii)而缺少步骤(i),步骤(ii)的归纳假设就没有根据,递推就没有基础,就可能得出不正确的结论.
    如2+4+6+…+2k=k2+k+a(a为任何数)
    2.讲授新课:
    用数学归纳证明等式
    例1:用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2
    例2:用数学归纳法证明:12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1).
    [说明]上述两例师生共同讨论完成.完成两例讨论后向学生指出:
    (1)由于证明当n=k+1等式成立时,需证明的¥资%源~网结论形式是已知的,只要将原等式中的n换成k+1即得,因此学生在证明过程中,证明步骤必须完整,不能跳步骤;(2)有些等式证明题在证明当n=k+1正确时,需用恒等变形,技巧较高,对基础较差的学生来说完成很困难,这时可通过左、右边的多项式乘法来完成.
    如 求证: …  (n N*).
    证明:
    (1) 当n=1时,左边=1,右边= ×1×(4-1)=1等式成立.
    (2) 假设当n=k(k N*)时等式成立,即 ,
    则n=k+1时,
    又
    即 等式成立.
    由(1)(2)知,等式对任何n N*都成立.
    (3)  用数学归纳法证明恒等式成立时,在逆推过程中应注意等式左右的项数的变化.由当n=k到n=k+1时项数的增加量可能多于一项,各项也因n的变化而变化,因此要根据等式的特点仔细分析项数及各项的变化情况.
    例如:求证:
    ( *).
    例3 (补充)在1与9之间插入2n-1个正数数 ,使1, ,9成等比数列,在1与9之间又插入2n-1个正数 ,使1, ,9成等差数列.设 , ,
    (1) 求 、
    (2) 设  ,是否存在最大自然数m,使对于n N*都有 被m整除,试说明理由.
    解:(1) 
    (2)
    当n=1时, =64
    当n=2时, =320=5×64
    当n=3时, =36×64
    由此猜想:最大自然数m=64
    用数学归纳法证明上述猜想:
    1.当n=1时,猜想显然成立;
    2.假设当n=k(k N*)时成立,即 能被64整除,
    则当n=k+1时,
    由归纳假设知 能被64整除,又 也能被64整除,所以 也能被64整除.
    由1、2知, 能被64整除(n N*).
    又因为 ,所以存在最大自然数64,使 能被64整除(n N*).
    [说明]本例是较难的数列与数学归纳法的综合题.在第(1)小题的解题过程中充分利用了等差、等比数列的性质,起到了对等差、等比数列知识的复习作用.本例也可以先将等差、等比数列的公差d、公比q用n表示,然后求出 、 (可让学生完成),同时本例的第(2)小题既复习了用数学归纳法证明数式的整除性,又为进一步掌握归纳—猜测—论证的问题提供了保证,是否选用本题教师可根据学校学生的实际数学学习水平决定.
    3.巩固练习:
    练习7.6(2)1,2,3
    4.课后习题:
    习题7.5  A组    习题7.5  B组
    5.课堂小结:
    (1)本节中心内容是数学归纳法的应用,数学归纳法适用的范围是:证明某些与连续自然数有关的命题;
    (2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,分类是完全归纳法和不完全归纳法二种,完全归纳法只局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性,必须用数学归纳法进行严格证明; 归纳法是有一系列特殊事例得出一边结论的推理方法,它属于归纳推理.而数学归纳法它是一种演绎推理方法,是一种证明命题的方法!因此,它不属于“不完全归纳法”!甚至连“归纳法”都不是!
    (3)学归纳法作为一种证明方法,它的基本思想是递推(递归)思想,它的证明步骤必须是两步,最后还要总结;数学归纳法证题的步骤:
    ①验证P( )成立.
    ②假设P(k)成立(k∈N*且k≥ ),推证P(k+1)成立.
    数学归纳法的核心,是在验证P( )正确的基础上,证明P(n)的正确具有递推性(n≥ ).第一步是递推的基础或起点,第二步是递推的依据.因此,两步缺一不可,证明中,恰当地运用归纳假设是关键.
    (4)本节课所涉及到的数学思想方法有:递推思想、分类讨论思想、函数与方程思想从这节课的学习中你有何感想?你能否体会到数学归纳法的魅力?
    六.教学设计说明
    1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法.它的操作步骤简单、明确,教学重点应该是方法的应用.但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输,技能的操练.对方法作简单的灌输,学生必然疑虑重重.为什么必须是二步呢?于是教师反复举例,说明二步缺一不可.你怎么知道n=k时命题成立呢?教师又不得不作出解释,可学生仍未完全接受.学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题,等等.为此,我们设想强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中,把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始就注意它的功能,为使用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机.
    数学归纳法产生的过程分二个阶段,第一阶段从对归纳法的认识开始,到对不完全归纳法的认识,再到不完全归纳法可靠性的认识,直到怎么办结束.第二阶段是对策酝酿,从介绍递推思想开始,到认识递推思想,运用递推思想,直到归纳出二个步骤结束.
    把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置,必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义,也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试.
    2.在教学方法上,这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是在于加强学生对教学过程的参与程度.为了使这种参与有一定的智能度,教师应做好发动、组织、引导和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的,尽快提出适当的问题,并提出思维要求,让学生尽快投入到思维活动中来,是十分重要的.这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解,并选择适当的问题,把课题的研究内容落于问题中,在逐渐展开中,引导学生用已学的知识、方法予以解决,并获得新的发展.本节课的教学设计也想在这方面作些研究.
    3.理解数学归纳法中的递推思想,还要注意其中第二步,证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件.
    即n=k+1时等式也成立.
    这是不正确的.因为递推思想要求的不是n=k,n=k+1时命题到底成立不成立,而是n=k时命题成立作为条件能否保证n=k+1时命题成立这个结论正确,即要求的这种逻辑关系是否成立.证明的主要部分应改为
    以上理解不仅是正确认识数学归纳法的需要,也为第二步证明过程的设计指明了正确的思维方向.

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