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高二数学向量的数量积013

高二数学向量的数量积013

分类:高二数学教案   更新:2013/1/21   来源:网友提供

高二数学向量的数量积013

8.2(2)向量的数量积(2)教学目标设计1.深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件;2.掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法;3.初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题,领略向量的数量积的数学价值;4.通过对

    8.2(2)  向量的数量积(2)
    教学目标设计
    1.深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件;
    2.掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法;
    3.初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题,领略向量的数量积的数学价值;
    4.通过对问题的分析研究,体会数学思考的过程.
    教学重点及难点
    重点:向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用;
    难点:向量的夹角公式的应用.
    教学用具准备
    直尺,投影仪
    教学过程设计
    一.情景引入:
    1.复习回顾
    (1)两个非零向量的夹角的概念:
    对于两个非零向量 ,如果以 为起点,作 ,那么射线 的夹角 叫做向量 与向量 的夹角,其中 .
    (2)平面向量数量积(内积)的定义:
    如果两个非零向量 的夹角为 ( ),那么我们把 叫做向量 与向量 的数量积,记做 ,即 .并规定 与 任何向量的数量积为0.
    (3) “投影”的概念:
    定义: 叫做向量 在 方向上的投影.
    投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为直角时投影为0;当? = 0?时投影为 ;当? = 180?时投影为 .
    (4)向量的数量积的几何意义:
    数量积 等于 的长度与 在 方向上投影 |的乘积.
    (5)向量的数量积的运算性质:
    对于 ,有
    (1) 当且仅当 时, =
    (2)
    (3)
    (4)
    2.分析思考:
    (1)类比实数的运算性质,向量的数量积结合律 是否成立?
    学生通过讨论,回答: 一般不成立
    (2)如果一个物体在大小为2牛顿的力 的作用下,向前移动1米,其所做的功的大小为1焦耳,问力 的方向与运动方向的夹角是否为 ?
    分析:设该物体在力 的作用下产生位移 , 所做的功为 , 与 的夹角为 , 则由 知
    二.学习新课:
    1.向量的夹角公式:
    在学习了向量数量积的定义之后,我们很容易推导出两个非零向量 的夹角 满足
    因此,当 时, ,反之,当 时,  .考虑到 可与任何向量垂直,所以可得:
    两个向量 垂直的充要条件是 .
    2.例题分析
    例1:化简: .(课本P66例2)
    解:    
    =
    =
    =
    例2:已知 ,且 与 的夹角为 ,求 .(课本P66例3)
    解:  
    所以 
    例3:已知 , 垂直,求 的值.(课本P66例4)
    解:  因为 垂直,所以
    化简得   
    即   
    由已知 ,可得
    解得   .
    所以,当 时, 垂直.
    例4:已知 、 都是非零向量,且 与 垂直, 与 垂直,求 与 的夹角.
    解:由     ①
    ②
    两式相减:
    代入①或②得:
    设 、 的夹角为?,则
    ∴? = 60?
    3.问题拓展
    例5.利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角.
    证明:设AB是⊙O直径,半径为r
    设 ,则 ; ,则
    则  
    ,即∠ACB是直角.
    三.巩固练习
    1已知 ,(1)若 ∥ ,求 ;
    (2)若 与 的夹角为60°,求 ;
    (3)若 与 垂直,求 与 的夹角.
    2已知 ,向量 与 的位置关系为(    )
    A.平行    B.垂直 C.夹角为     D.不平行也不垂直
    3已知 , 与 之间的夹角为 ,则向量 的模为(  )
    A.2       B.2      C.6       D.12
    4已知 与 是非零向量,则 是 与 垂直的(    )
    A.充分但不必要条件           B.必要但不充分条件
    C.充要条件                   D.既不充分也不必要条件
    四.课堂小结
    1.向量的数量积及其运算性质;
    2.两向量的夹角公式;
    3.两个向量垂直的充要条件;
    4.求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法.
    五.作业布置
    练习8.2(1) P67  T2、T3、T4 ;  P35   T3 、 T4
    思考题
    1已知向量 与 的夹角为 , ,则| + |?| - |=     .
    2已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、 是直角坐标系中 轴、 轴正方向上的单位向量,那么 =           .
    3已知 ⊥ 、 与 、 的夹角均为60°,且 则 =_____   _.
    4对于两个非零向量 与 ,求使 最小时的t值,并求此时 与 的夹角.
    5求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
    教学设计说明及反思
    本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后.再一次抛出物理模型问题,学生通过交流、分析.讨论,解决问题.进一步推而广之,由数量积的定义,通过变形十分容易的导出向量的夹角公式.并推出了两向量垂直的充要条件.之后,通过例题分析,学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程.学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力.

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