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利用向量解决平行与垂直问题

分类:高二数学教案   更新:2015/10/15   来源:本站原创

    【学情分析】:

    教学对象是高二的学生,学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系,所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解,但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题,因此,教学中应重点抓住转换思想来进行.

    【教学目标】:

    (1)知识与技能:继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法;会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.

    (2)过程与方法:在解决问题中,通过数形结合与问题转化的思想方法,加深对相关内容的理解。

    (3)情感态度与价值观:体会把立方体几何几何转化为向量问题优势,培养探索精神。

    【教学重点】:

    向量法与坐标法.

    【教学难点】:

    立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化.

    【教学过程设计】:

    教学环节 教学活动 设计意图

    一、复习引入 1. 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.

    2. 平行与垂直关系的向量表示。 为学习新知识做准备.

    二、探究新知

    一、用向量处理平行问题

    分析:先复习共面向量定理。要解决问题,可以考虑将向量 用向量 线性表示出来。

    评注:

    向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使

    p=xa+yb.

    利用共面向量定理可以证明线面平行问题。

    本题用的就是向量法。

    (图略)

    分析:面面平行 线面平行 线线平行。

    评注:

    由于三种平行关系可以相互转化,所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化,在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系,方能减少运算量。

    本题选用了坐标法。

    思考:

    一般应如何建立空间直角坐标系?

    二、用向量处理垂直问题

    (图略)

    分析:线面垂直 线线垂直。

    评注:

    本题若用一般法证明,容易证A’F垂直于BD,而证A’F垂直于DE,

    或证A’F垂直于EF则较难,用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。

    例4, 证明:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。(三垂线定理)

    已知:如图,OB是平面 的斜线,O为斜足, ,A为垂足,

    求证:

    证明:

    例1是一道线面平

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