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22.2.3 公式法

22.2.3 公式法

分类:九年级数学教案   更新:2013/1/19   来源:网友提供

22.2.3 公式法

教学内容1.一元二次方程求根公式的推导过程;2.公式法的概念;3.利用公式法解一元二次方程.教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.重难点关键1.重点:求根公式的推导和公式法的应用.2.难点与关键:一元二次方程求根公

教学内容
    1.一元二次方程求根公式的推导过程;
    2.公式法的概念;
    3.利用公式法解一元二次方程.

    教学目标
    理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.
    复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.

    重难点关键
    1.重点:求根公式的推导和公式法的应用.
    2.难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导.

    教学过程
    一、复习引入

    (学生活动)用配方法解下列方程
    (1)6x2-7x+1=0   (2)4x2-3x=52
    (老师点评)  (1)移项,得:6x2-7x=-1
    二次项系数化为1,得:x2-   x=-  
    配方,得:x2-   x+(   2=-   +(   2
              (x-   2=  
    x-       x1=   +   =   =1 
    x2=-   +   =   =  
    (2)略

    总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).
    (1)移项;
    (2)化二次项系数为1;
    (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;
    (4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;
    (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.

    二、探索新知
    如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.
    问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1=   ,x2=  
    分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
    解:移项,得:ax2+bx=-c
    二次项系数化为1,得x2+   x=-  
    配方,得:x2+   x+(   2=-   +(   2
    即(x+   2=  
    ∵b2-4ac≥0且4a2>0
    ∴   ≥0
    直接开平方,得:x+    
    即x=  
    ∴x1=   ,x2=  
    由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:
    (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x=   就得到方程的根.
    (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
    (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
    (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.

    例1.用公式法解下列方程.
    (1)2x2-4x-1=0          (2)5x+2=3x2
    (3)(x-2)(3x-5)=0   (4)4x2-3x+1=0
    分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.
    解:(1)a=2,b=-4,c=-1
    b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0
    x=  
    ∴x1=   ,x2=  
    (2)将方程化为一般形式
     3x2-5x-2=0
     a=3,b=-5,c=-2
     b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0
    x=  
    x1=2,x2=-  
    (3)将方程化为一般形式
    3x2-11x+9=0
    a=3,b=-11,c=9
    b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0
    ∴x=  
    ∴x1=   ,x2=  
    (3)a=4,b=-3,c=1
    b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-7<0
    因为在实数范围内,负数不能开平方,所以方程无实数根.

    三、应用拓展

    例2.数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)   +(m-2)x-1=0提出了下列问题.
    (1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.
    (2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出.
    你能解决这个问题吗?
    分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0.
    (2)要使它为一元一次方程,必须满足:①   或②   或③  
    解:(1)存在.根据题意,得:m2+1=2
                               m2=1  m=±1
      当m=1时,m+1=1+1=2≠0
      当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去)
      ∴当m=1时,方程为2x2-1-x=0
      a=2,b=-1,c=-1
      b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9
      x=  
      x1=,x2=-  
      因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=-  

    (2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0
    因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0
    所以m=0满足题意.
    ②当m2+1=0,m不存在.
    ③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0
    所以m=-1也满足题意.
    当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0,
    解得:x=-1
    当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0
    解得x=-  
    因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-1时,其一元一次方程的根为x=-  

    四、归纳小结
    本节课应掌握:
    (1)求根公式的概念及其推导过程;
    (2)公式法的概念;
    (3)应用公式法解一元二次方程;
    (4)初步了解一元二次方程根的情况.

    五、作业

    一、选择题
    1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到(  ).
    A.x=        B.x=      C.x=        D.x=  

    2.方程   x2+4   x+6   =0的根是(  ).
    A.x1=   ,x2=        B.x1=6,x2=      C.x1=2   ,x2=        D.x1=x2=-  

    3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是(  ).
    A.4     B.-2     C.4或-2     D.-4或2

    二、填空题
    1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________.
    2.当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4.
    3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____.

    三、综合提高题
    1.用公式法解关于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0.
    2.设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,(1)试推导x1+x2=-   ,x1·x2=   ;(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值.
    3.某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时   元收费.
    (1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?(用A表示)
    (2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况

月份

用电量(千瓦时)

交电费总金额(元)

 3

       80

       25

 4

       45

       10

    根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?

    答案:
    一、1.D  2.D  3.C
    二、1.x=   ,b2-4ac≥0   2.4  3.-3
    三、
    1.x=   =a±│b│

    2.
    (1)∵x1、x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,∴x1=   ,x2=  
         ∴x1+x2=   =-   ,x1·x2=   ·   =  
    (2)∵x1,x2是ax2+bx+c=0的两根,∴ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0
        原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
        =x1(ax12+bx1+c)+x2(ax22+bx2+c)
        =0
    3.(1)超过部分电费=(90-A)·   =-   A2+   A (2)依题意,得:(80-A)·   =15,A1=30(舍去),A2=50

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