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特殊四边形学案

分类:九年级数学教案   更新:2017/8/14   来源:网络

  【考点解析】

  知识点一、矩形的性质及判定的应用

  【例1】(2016?四川宜宾)如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(  )

  A.4.8 B.5 C.6 D.7.2

  【考点】矩形的性质。

  【分析】首先连接OP,由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4,可求得OA=OD=5,△AOD的面积,然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA?PE+OD?PF求得答案。

  【解答】解:连接OP,

  ∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,

  ∴S矩形ABCD=AB?BC=48,OA=OC,OB=OD,AC=BD=10,

  ∴OA=OD=5,

  ∴S△ACD= S矩形ABCD=24,

  ∴S△AOD= S△ACD=12,

  ∵S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA?PE+ OD?PF= ×5×PE+ ×5×PF= (PE+PF)=12,

  解得:PE+PF=4.8.

  故选:A.

  【变式】

  (2016?四川眉山?3分)如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F,连结BF交AC于点M,连结DE、BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:①FB垂直平分OC;②△EOB≌△CMB;③DE=EF;④S△AOE:S△BCM=2:3.其中正确结论的个数是(  )

  A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

  【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论;

  ②证△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB;

  ③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF,再证?DEBF得出DE=BF,所以得DE=EF;

  ④由②可知△BCM≌△BEO,则面积相等,△AOE和△BEO属于等高的两个三角形,其面积比就等于两底的比,即S△AOE:S△BOE=AE:BE,由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2OE=2AE,得出结论S△AOE:S△BOE=AE:BE=1:2.

  【解答】解:①∵矩形ABCD中,O为AC中点,

  ∴OB=OC,

  ∵∠COB=60°,

  ∴△OBC是等边三角形,

  ∴OB=BC,

  ∵FO=FC,

  ∴FB垂直平分OC,

  故①正确;

  ②∵FB垂直平分OC,

  ∴△CMB≌△OMB,

  ∵OA=OC,∠FOC=∠EOA,∠DCO=∠BAO,

  ∴△FOC≌△EOA,

  ∴FO=EO,

  易得OB⊥EF,

  ∴△OMB≌△OEB,

  ∴△EOB≌△CMB,

  故②正确;

  ③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°,BF=BE,

  ∴△BEF是等边三角形,

  ∴BF=EF,

  ∵DF∥BE且DF=BE,

  ∴四边形DEBF是平行四边形,

  ∴DE=BF,

  ∴DE=EF,

  故③正确;

  ④在直角△BOE中∵∠3=30°,

  ∴BE=2OE,

  ∵∠OAE=∠AOE=30°,

  ∴AE=OE,

  ∴BE=2AE,

  ∴S△AOE:S△BCM=S△AOE:S△BOE=1:2,

  故④错误;

  所以其中正确结论的个数为3个;

  故选B

  【点评】本题综合性比较强,既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质,又考查了全等三角形的性质和判定,及线段垂直平分线的性质,内容虽多,但不复杂;看似一个选择题,其实相当于四个证明题,属于常考题型。

  知识点二、菱形的性质及判定的应用

  【例2】(2015辽宁朝阳)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,

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